Как сообщает «Словарь русской фразеологии», в диалектах русского языка встречаются несколько версий этого оборота:

Филолог и литературовед Мориц Михельсон в своей книге «Русская мысль и речь» (1902) приходит к выводу о том, что «широкие сопоставления диалектной фразеологической модели „расслабить губу“ в значении „плакать“ или „хныкать“ со славянскими оборотами того же типа позволяют реконструировать значение слова „нюня“, утраченное современным русским языком, как „губа“».

Словарь Даля подтверждает вывод коллеги и фиксирует слово «нюни» в следующем значении:

Еще Даль приводит сибирский вариант «нюней» — «хнюни». Которые тоже можно распустить или развесить.